H12。点p在等边ABC内，PA=6，PB=8，PC=10。求：(1)PBC的面积；(2)以等边三角形边长A为边长的正方形的面积。
思路：
1.等边ABC由三个三角形填充：PAB，PAC，PBC，所以等边三角形ABC的面积等于这三个三角形的和；2.将PAB绕b点顺时针旋转60，得到DBC，一个四边形BDCP；由DBC和PBC组成；
3.四边形BDCP可以看作PCD和PBD。
4.可以判断PBD是等边三角形，PDC是直角三角形。
5.我们可以在DBC中得到BDC=150，然后计算它的高度和面积；
6.PBC面积=四边形BDCP面积-DBC面积；
7.同样，可以计算PAB和PAC的面积。
等边面积ABC=PAB面积PAC面积PBC面积，
同时，等边ABC的面积=1/2a 2 sin 60；
9.建立方程求A的平方；
10.正方形的面积=a的平方。
实际操作：
(1)围绕b点顺时针旋转PAB 60以获得DBC(如下图所示)
要连接PD，显然PABDCB，
因此，BP=BD，PBD=60，
因此，PBD是一个等边三角形，PDB=60，
即PD=PB=8，PA=DC=6，PC=10，
PD^2 DC^2=64 36=100，PC^2=100，
所以PD 2 DC 2=PC 2，
因此，PDC为直角三角形，PDC=90，
在BDC中， BDC=90 60=150，
作为CEBD的延长线，垂直的脚是e，
在RtCDE中，
CDE=180 -150=30，DC=6，
那么CE=1/2DC=3，
因此，BDC=1/2BDCE=12的面积，
RtPDC面积=1/2PDCD=24，
等边PBD的面积
=1/2PB^2sin60=163，
四边形BDCP面积=24 163，
四边形BDCP的面积
=BDC的面积=PBC的面积，
那么24 163=12 PBC面积，
所以PBC的面积=12+163,
PAB的面积=BDC的面积=12。
(2)PAC=12 ^ 93的面积用同样的方法计算，
等边三角形的面积
=PAB面积PAC面积PBC面积，
=12 93 12 12 163=36 253,
等边ABC的面积=1/2a ^ 2 in ^ 60，
所以3/4a ^ 2=36 ^ 253，
解决正方形的面积=a的平方=100+483.
附：在发现A的平方可以用勾股定理直接计算后，跳友指出本文计算有误，谢谢！结果已经更新。
在RtBCE中，
BC^2=3^2 (8 33)^2
=100 483
a^2=100 483 .
综述：
1.这个题目技巧性很强，过程繁琐。抓60，用旋转变换等这两个三角形组成的等边三角形、直角三角形、四边形；利用四边形的两条对角线，将其细分为两个三角形；可以找到四边形的面积，可以找到用两种方法划分的四个三角形的面积，其中三个可以找到，一个未知。2.本题考查的知识点：旋转变换、同余、勾股定理及其逆定理、三角形面积、等边三角形边长与其面积的关系、正方形面积、面积的截补方法、方程、分母理化、特殊角的三角函数值、钝角三角形的高画等。
