当我们第一次接触几何时，数学老师教我们如何用尺子画画。
也许你听说过古希腊三个著名的几何问题，它们是：倍立方，画圆为方，三等分任意角。
2000多年后，人类知道不能用尺子画画。
今天我们就来简单了解一下尺子画法的原理。相信看完之后就能明白为什么三大几何问题不是问题了。
首先我们用尺子来画，这样很容易把一条线段等分，甚至对所有正整数都开根号。
例如，做一个11的直角三角形，然后连接对角线，得到根数2:
继续以对角线为一边，做一个另一边为1的直角三角形，连接新的对角线，就可以依次得到所有正整数的处方。
那我们的问题来了！
对于任意长度的线段，比如长度a，我们可以做一个长度为“根a”的线段吗？
答案是肯定的，但是对于一条直线，我们必须指定单位长度，否则根一条长度未知的直线是没有意义的(你能想到为什么吗？)。
下图是用尺子画“根a”的方法。
这就是尺规作图的极限——对任意已知长度的线段，开2次根号。
但是，你永远不能用尺子画出并得到三个药方的大概数字，比如；
然后我们就可以回答开题了。
1、倍立方的本质，是作3次根号2；
2、画圆为方的本质，是作圆周率；
3、三等分任意角的本质，是三倍角公式下的一元三次不定方程，作其解。
我们知道圆周率是一个超越数，所以用尺子画是不可能得到的；但是一元三次方程的解会得到二次的根数以上，所以不可能用尺子把所有的角都画成三等分。
19世纪初，法国数学家伽罗瓦首先证明了将立方体加倍画圆不是问题；1882年，林德曼等人证明圆周率的超越性，否定了把圆画成正方形的问题。
此外，中国现代数学起步较晚，很多人在不了解数学前沿的情况下走了弯路。
比如上个世纪，在当时的《北京晨报》中，宣布了一个中国人用了14年的时间解决了角三等分问题，在国内外引起了轰动，但很快人们就发现他的证明是错误的。
甚至在70年代，中国科学院每年都会收到一篮子关于角度三等分的文稿，最后不得不在权威杂志《数学通报》上发布公告，说不可能画出三等分角度的尺子。这个命题在200多年前就被伽罗瓦证明了。
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