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103010里有一个故事：香菱学着写诗，但是她努力了很多也没能写好，但是她在梦里写了一首好诗。当然，这有点“怪力的混乱”。据说著名的小提琴曲《红楼梦》也是在梦中创作的。那么这样的事情在现实中真的会发生吗？我关心的是：我能在梦里做数学吗？
也许有些天才可以，但我们普通人不行。在我的梦里，场景瞬息万变，跳跃不断，每一个场景持续的时间都很短，更不用说逻辑了。证明一个定理需要多步推理和反复测试，这在梦里肯定是不可能的。
然而，一个好主意出现在我的梦里。
也不是不可能。如果我梦见一首诗中一个美妙的词或句子，我仍然相信它。但另一个问题是，大多数梦醒来后都会被遗忘。只有当你梦见一个美妙的句子突然醒来时，你才能把它写下来，传递给世界。
至于数学，我最近多次遇到这样的好事。写出来和大家分享是数学的“白痴梦”。
一 日 有 所 思
在解释什么是“晚上做梦”之前，有必要先解释一下“每天都在思考”。
由于新冠肺炎很受欢迎，我和其他人一样呆在家里。首先要做的是修改《魔鬼的颤音》这本书。这是出版社2015年提交的草案。去年8月，我计划再次谈论最终草案。之后顺利完成，但整理稿件的工作量还是很大的。不幸的是，新冠肺炎给了我时间，学校延期了。开学后，我在网上授课，所以我有将近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修改工作，并将稿件提交给了出版社。所以现在有时间聊一些轻松的话题。
开学后的教学工作当然与数学有关。一方面研究生课程是《李群与李代数基础》，我觉得肯定是不可行的，所以采用了“线上讨论课”的教学方式。自从实施以来，效果相当不错，因为学生经常先回答问题，到处查资料。大家在微信群里上传了很多文件，还有一些贪心的同学上传了整本厚厚的书，比如EGA(格罗滕迪克的作品)。
阿尔及利亚总领事馆
《交换代数与同调代数》的缩写)和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有本科生甚至中学生的教学任务，目前不值得一提，但还在努力。
应该说这些任务并不难，不然我只会在晚上做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，数学题经常出现在我的梦里，有些还没睡醒就忘了，感觉有点意思。让我们一个一个写下来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高。
二 夜 之 所 梦
梦到数学题
，也就是“黄金分割数”。我梦见一道题：应该有两个整数an和bn，这样-n=an，bn ，我在梦里想到了an。
Bn应该有一个递归公式，努力尝试后醒来却没有想出来。
当我醒来时，这个问题很有趣，因为答案是-n=Fn 1 Fn。
其中{Fn}是斐波那契数列，满足F1=F2=1，对于n 1，Fn 1=Fn Fn-1。
当然，证明并不难，方法也有很多，但似乎没有微不足道的一种。
所以我给了中学生。
梦到本科题
我不知道如何想象一个数{an}满足递归关系。
。当我醒来的时候，我已经看到了许多类似的递归关系，但是我没有看到相同的递归关系(请告知谁见过它们)。
这种递归关系的有趣之处在于，只要在：中使用a10，得到的序列总是收敛的，但它可能增加或减少，也可能既不增加也不减少。
并且它的极限总是-1。
循环关系也可以更改为。
其中a是固定的正实数。
我觉得这个题目对于一个本科数学竞赛来说已经足够了。你怎么想呢？
梦到李群与李代数问题之一
设复变量z为幂级数。
收敛半径为R(可能)，n阶复合矩阵t的特征值的绝对值小于R.矩阵幂级数。
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收敛。
这是我在讲李群与李代数课程时学生提出的问题，讲课也用得着。当时的想法是化为若尔当标准型，这样证明没问题，但感觉有点隐患，结果在梦中暴露出来。
在梦中遇到这个问题，却是和李群与李代数课程中经常遇到的另一个问题――解析性联系了起来。具体说，如果n阶复方阵 T= (tij)，将其中的 tij
都看作变元，那么 f(T) 中的变元是否都是诸 tij 的解析函数呢？
在梦中苦苦挣扎，因为用若尔当标准型的办法好像怎么也过不去，就这样醒了。这个梦是忘不了的，尽管还不能算是噩梦。后面就是梦醒后的故事了。
醒来后想想，上述问题的答案应该是肯定的，但用若尔当标准型即使可以做，恐怕也很麻烦，因为需要用到特征根，就会遇到单值阻碍（monodromy
obstruction），真的苦了。
最好能想个不用特征根的路子。后来受维尔斯特拉斯预备定理启发，有了个办法，写成下面的习题。
习 题
设复变元z的幂级数
的收敛半径为R（可能为∞)。T= (tij) 为n阶复方阵，正实数r ，并由此证明f(T)的元都是 tij (1≤i, j≤n) 的解析函数。 这样我写的书里就增加了一道习题。如果您做了这个习题，就会觉得我这个梦没白做了。 04、 梦到李群与李代数问题之二 下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。 在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。 醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？ 无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。 这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。 习 题 1 设V为实线性空间 ，则 。定义一个映射 σ:V→V。易见σ是一一映射，即 。所有这样的映射组成 Per(V) 的一个子群，记为 。证明 有一个自然的李群结构，其中满足 T=idV 的元组成一个正规李子群H，而 习 题 2 设V为欧几里德空间（内积为<,>）。一个映射 σ:V→V 称为 运动 ，如果它保持距离，即对任意 。证明 ，具体说有一个正交变换 及一个 使得对任意 ，有 。证明所有运动组成 的一个李子群，记为 这些都是我在做梦之前就知道的，所以在梦中出现并不奇怪。而梦中的潜意识就引导到计算 的李代数。由于 不是 的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用 的一个很好的线性表示来解决这个问题。这样就在书中又增加了一道习题。
